Chuyên đề Toán Lớp 4 - Chuyên đề: Các bài toán về dãy số và phương pháp giải

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 4 - Chuyên đề: Các bài toán về dãy số và phương pháp giải

1. CÁC DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Các kiến thức cần nhớ: Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn Vì vậy, nếu: - Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn. - Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các số lẻ. - Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn các số chẵn là 1 số. - Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số chẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số. a. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy. 1, 2, 3, 4, ., 999 b. 1, 2, 3, , 9000 c. Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lượng các số trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên. d. 5, 6, 7, 8, 995 995 – 4 = 991 2. Các loại dãy số: + Dãy số cách đều: - Dãy số tự nhiên. - Dãy số chẵn, lẻ. - Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số tự nhiên nào đó. + Dãy số không cách đều. - Dãy Fibonacci hay tribonacci. - Dãy có tổng (hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số. + Dãy số thập phân, phân số: 3. Cách giải các dạng toán về dãy số: Dạng 1: Điền thêm số hạng vào sau, giữa hoặc trước một dãy số Trước hết ta cần xác định lại quy luật của dãy số: + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên a. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 3) bằng tổng 2 số hạng đứng liền trước nó. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d rồi cộng với số thứ tự của số hạng ấy. + Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự của nó. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi đều bằng a lần số liền trước nó. + Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) trở đi, mỗi số liền sau bằng a lần số liền trước nó cộng (trừ ) n (n khác 0). 1
2. Các ví dụ: Bài 1: Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 21 + 34 = 55 34 + 55 = 89 55 + 89 = 144 Muốn giải được bài toán trên trước hết phải xác định quy luật của dãy số như sau: Ta thấy: 1 + 2 = 3 3 + 5 = 8 2 + 3 = 5 5 + 8 = 13 Dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ 3 trở đi mỗi số hạng bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó. Ba số hạng tiếp theo là: 21 + 34 = 55; 34 + 55 = 89; 55 + 89 = 144 Vậy dãy số được viết đầy đủ là: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 34, 55, 89, 144 Bài 2: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92 8 + 15 +27 = 50 15 + 27 +50 = 92 27 + 50 + 92 = 16 9 Ta nhận thấy: 8 = 1 + 3 + 4 27 = 4+ 8 + 15 15 = 3 + 4 + 8 Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 1, 3, 4, 8, 15, 27, 50, 92, 169. Bài 3: Tìm số hạng đầu tiên của các dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng. a) , , 32, 64, 128, 256, 512, 1024 b) , , 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110 Giải: a). Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 là : 1024 = 512 x 2 Số hạng thứ 9 là : 512 = 256 x 2 Số hạng thứ 8 là : 256 = 128 x 2 Số hạng thứ 7 là : 128 = 64 x 2 Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số này là: mỗi số hạng của dãy số gấp đôi số hạng đứng liền trước đó. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 x 2 = 2. b). Ta nhận xét : Số hạng thứ 10 là : 110 = 11 x 10 2
3. Số hạng thứ 9 là : 99 = 11 x 9 Số hạng thứ 8 là : 88 = 11 x 8 Số hạng thứ 7 là : 77 = 11 x 7 Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng số thứ tự của số hạng ấy nhân với 11. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là : 1 x 11 = 11. Bài 4: Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau : a. 3, 9, 27, , , 729. b. 3, 8, 23, , , 608. Giải : Muốn tìm được các số còn thiếu trong mỗi dãy số, cần tim được quy luật của mỗi dãy số đó. a. Ta nhận xét : 3 x 3 = 9 9 x 3 = 27 Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng gấp 3 lần số liền trước nó. Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là: 27 x 3 = 81 ; 81 x 3 = 243 ; 243 x 3 = 729 (đúng). Vậy dãy số còn thiếu hai số là : 81 và 243. b. Ta nhận xét: 3 x 3 – 1 = 8 ; 8 x 3 – 1 = 23. Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng bằng 3 lần số liền trước nó trừ đi 1. Vì vậy, các số còn thiếu ở dãy số là: 23 x 3 - 1 = 68 ; 68 x 3 – 1 = 203 ; 203 x 3 – 1 = 608 (đúng). Dãy số còn thiếu hai số là: 68 và 203. Bài 5: Lúc 7h sáng, một người đi từ A đến B và một người đi từ B đến A ; cả hai cùng đi đến đích của mình lúc 2h chiều. Vì đường đi khó dần từ A đến B ; nên người đi từ A, giờ đầu đi được 15km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm đi 1km. Người đi từ B giờ cuối cùng đi được 15km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm 1km. Tính quãng đường AB. Giải: 2 giờ chiều là 14h trong ngày. 2 người đi đến đích của mình trong số giờ là: 14 – 7 = 7 giờ. Vận tốc của người đi từ A đến B lập thành dãy số: 15, 14, 13, 12, 11, 10, 9. Vận tốc của người đi từ B đến A lập thành dãy số: 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Nhìn vào 2 dãy số ta nhận thấy đều có các số hạng giống nhau vậy quãng đường AB là: 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 84 Đáp số: 84km. Bài 6: Điền các số thích hợp vào ô trống sao cho tổng số 3 ô liên tiếp đều bằng 2010 783 998 3
4. 4 × 1 + 45 × 2 + 450 x 3 = 1444 chữ số Số chữ số còn lại là: 2010 - 1444 = 566 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 4 chữ số bắt đầu từ 1000. Ta viết được: 566 : 4 = 141 số (dư 2 chữ số) Nên có 141 số có 4 chữ số được viết , số có 4 chữ số thứ 141 là: (141 - 1) x 2 + 1000 = 1280 Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 1282 nhưng mới chỉ viết được 12. Vậy chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 2 hàng trăm của số 1282. 1 Bài toán 3: Tìm chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số . 7 Giải: 1 Số thập phân bằng phân số là: 1 : 7 = 0,14285714285 7 Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ta thấy cứ 6 chữ số thì lập thành 1 nhóm 142857. Với 2010 chữ số thì có số nhóm là: 2010 : 6 = 335 (nhóm). Vậy chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng 1 phân số là chữ số 7. 7 Bài toán 4: Cho 1 số có 2 chữ số, một dãy số được tạo nên bằng cách nhân đôi chữ số hàng đơn vị của số này rồi cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục như vậy với số vừa nhận được (Ví dụ có thể là dãy: 59, 23, 8, 16, 13, ). Tìm số thứ 2010 của dãy nếu số thứ nhất là 14. Giải: Ta lập được dãy các số như sau: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, Ta thấy cứ hết 18 số thì dãy các số lại được lặp lại như dãy 18 số đầu. Với 2010 số thì có số nhóm là: 2010 : 18 = 111 nhóm (dư12 số) 12 số dó là các số của nhóm thứ 112 lần lượt là: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1. Vậy số thứ 2010 của dãy là số 1. * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó. Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, Bạn Minh tìm được chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai? 5 Bài 3: Bạn Minh đang viết phân số dưới dạng số thập phân. Thấy bạn Thông sang 13 chơi, Minh liền dố: Đố bạn tìm được chữ số thứ 100 ở phần thập phân của số thập phân mà tớ đang viết. Thông nghĩ 1 tí rồi trả lời ngay: đó là chữ số 6. Em hãy cho biết bạn Thông trả lời đúng hay sai? 14
5. Dạng 8: Tìm số hạng thứ n khi biết tổng của dãy số Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, , n. Hãy tìm số n biết tổng của dãy số là 136 Giải: Áp dụng công thức tính tổng ta có : (1+ n) × n 1 + 2 + 3 + + n = = 136 2 Do đó: (1 + n ) × n = 136 × 2 = 17 × 8 × 2 = 16 × 17 Vậy n = 16 Bài toán 2: Cho dãy số: 21, 22, 23, , n Tìm n biết: 21 + 22 + 23 + + n = 4840 Giải: Nếu cộng thêm vào tổng trên tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 20 ta có tổng sau: 1 + 2 + 3 + + 21 + 22 + 23 + + n Áp dụng công thức tính tổng ta có (1 + n) × n : 2 = 1 + 2 + + 20 + 4840 = ( 1 + 20) × 20 : 2 + 4840 = 210 + 4840 = 5050 ( 1+ n) × n = 5050 × 2 = 10100 = 101 × 100 Vậy n = 100 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Cho biết: 1 + 2 + 3 + + n = 345. Hãy tìm số n. Bài 2: Tìm số n biết rằng 98 + 102 + + n = 15050 Bài 3: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, , x. Tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106 Dạng 9: Tính tổng của dãy số Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là: Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách đều Dạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách đều. Dạng 1: Dãy số mà các số hạng cách đều. Xuất phát từ một bài Toán như sau: Tính: A = 1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 100 Ta thấy tổng A có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm có tổng là 101 như sau: A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50 x 101 = 5050. 15
6. Đây là bài Toán mà lúc lên 7 tuổi nhà Toán học Gauxơ đã tính rất nhanh tổng các số Tự nhiên từ 1 đến 100 trước sự ngạc nhiên của thầy giáo và các bạn bè cùng lớp. Như vậy bài toán trên là cơ sở đầu tiên để chúng ta tìm hiểu và khai thác thêm rất nhiều các bài tập tương tự, được đưa ra ở nhiều dạng khác nhau, được áp dụng ở nhiều thể loại toán khác nhau nhưng chủ yếu là: tính toán, tìm số, so sánh, chứng minh. Để giải quyết được các dạng toán đó chúng ta cần phải nắm được quy luật của dãy số, tìm được số hạng tổng quát, ngoài ra cần phải kết hợp những công cụ giải toán khác nhau nữa. Cách giải: Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều đầu và số hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau. Vì vậy: Tổng các số hạng của dãy bằng tổng của một cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu và cuối nhân với số hạng của dãy chia cho 2. Viết thành sơ đồ: Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2) Từ sơ đồ trên ta suy ra: Số đầu của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số hạng cuối. Số cuối của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số đầu. Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong đó đã phân thành hai dạng trên: Bài 1: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên. Giải: 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37. Ta thấy: 1 + 37 = 38 ; 5 + 33 = 38 1 + 35 = 38 ; 7 + 31 = 38 Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta được các cặp số đều có tổng số là 38. Số cặp số là: 19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng. Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19. Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 39 x 9 + 19 = 361 Đáp số: 361. Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số lẻ (19) thì khi sắp cặp số sẽ dư lại số hạng ở chính gữa vì số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng thì việc tìm số hạng còn lại sẽ rất khó khăn. Vậy ta có thể làm cách 2 như sau: Ta bỏ lại số hạng đầu tiên là số 1 thì dãy số có: 19 - 1 = 18 (số hạng) Ta thấy: 3 + 37 = 40 ; 7 + 33 = 40 5 + 35 = 40 ; 9 + 31 = 40 Khi đó, nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào thì được các cặp số có tổng là 40. 16
7. Số cặp số là: 18 : 2 = 9 (cặp số) Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1 + 40 x 9 = 361 Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở 2 đầu dãy số (số đầu, hoặc số cuối) để còn lại một số chẵn số hạng rồi sắp cặp; lấy tổng của mỗi cặp nhân với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số. Bài 2: Tính tổng của số tự nhiên từ 1 đến n. Giải: Ghép các số: 1, 2, , n – 1, n thành từng cặp (không sắp thứ tự) : 1 với n, 2 với (n – 1), 3 với (n – 2), Khi n chẵn, ta có S = n x (n + 1) : 2 Khi n lẻ, thì n – 1 chẵn và ta có: 1 + 2 + + (n – 1) = (n – 1) x n : 2 Từ đó ta cũng có: S = (n – 1) x n : 2 + n = (n - 1) x n : 2 + 2 x n : 2 = [(n – 1) x n + 2 x n] : 2 = (n – 1 + 2) x n : 2 = n x (n + 1) : 2 Khi học sinh đã làm quen và thực hiện thành thạo thì hướng dẫn học sinh áp dụng công thức luôn mà không cần nhóm thành các cặp số có tổng bằng nhau. Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x số số hạng : 2 Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 100 Lời giải Ta có thể đưa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai vế với 100, khi đó ta có: 100 x E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 1000 Áp dụng công thức tính tổng ta tính được tổng là E = 4954,95 Hoặc giải như sau: Ta thấy: 11,12 - 10,11 = 12,13 - 11,12 = = 1,01 Vậy đây là dãy số cách đều 1,01 đơn vị. Dãy số có số số hạng là : (100 - 10,11) : 1,01 + 1 = 90 số hạng Tổng của dãy số là : (10,11 + 100) x 90 : 2 = 4954,95 Bài 4: Cho dãy số: 1, 2, 3, 195. Tính tổng các chữ số trong dãy? Giải: Ta viết lại dãy số và bổ sung thêm các số: 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy: 0, 1, 2, 3, , 9 10, 11, 12, 13, , 19 90, 91, 92, 93, , 99 100, 101, 102, 103, , 109 17
8. Vì có 200 số và mỗi dòng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng) Tổng các chữ số hàng đơn vị trong mỗi dòng là: 1 + 2 + 3 + + 9 = 9 x 10 : 2 = 45 Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là: 45 x 20 = 900 Tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng đầu đều bằng tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng sau và bằng: 1 x 10 + 2 x 10 + + 9 x 10 = (1 + 2 + + 9) x 10 = 45 x 10 = 450 Vậy tổng các chữ số hàng chục là: 450 x 2 = 900 Ngoài ra dễ thấy tổng các chữ số hàng trăm là: 10 x 10 = 100. Vậy tổng các chữ số của dãy số này là: 900 + 900 + 100 = 1900 Từ đó suy ra tổng các chữ số của dãy ban đầu là: 1900 – (1 + 9 + 6 + 1 + 9 + 7 + 1 + 9 + 8 + 1 + 9 + 9) = 1830 Trong Toán học nói riêng và trong khoa học nói chung, chúng ta thường nhờ vào suy luận quy nạp không hoàn toàn mà phát hiện ra những kết luận (gọi là giả thuyết) nào đó. Sau đó chúng ta sử dụng suy luận diễn dịch hoặc quy nạp hoàn toàn để kiểm tra sự đúng đắn của kết luận đó. Khi dạy học tiểu học, điều nói trên cũng được lưu ý. Bài 5: Tính tổng tất cả số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ số: Giải: Các số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ số là: 9,000; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; ; 9,999 tức là có 1000 số. Tổng tất cả các số của dãy số trên là: (9,000 + 9,999) x 1000 : 2 = 9499,5 Đáp số: 9499,5 Bài 6: Phải thêm vào tổng các số hạng trong dãy số: 2, 4, 6, 8, , 246 ít nhất bao nhiêu đơn vị để được số chia hết cho 100 ? Giải: Đây là dãy số chẵn liên tiếp hay dãy số cách đều 2 đơn vị. Dãy số có số số hạng là: (246 - 2) : 2 + 1 = 123 số hạng. Tổng của dãy số là: (246 + 2) x 123 : 2 = 12252 Vì 100 - 52 = 48 nên phải thêm vào tổng của dãy số ít nhất 48 đơn vị. Dạng 2: Dãy số mà các số hạng không cách đều. Bài toán 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần. 1 1 1 1 1 1 Ví dụ: + + + + + . 2 4 8 16 32 64 Cách giải: Cách 1: 18
9. 1 1 1 1 1 1 Bước 1: Đặt A = + + + + + 2 4 8 16 32 64 1 1 Bước 2: Ta thấy: = 1 − 2 2 1 1 1 = − 4 2 4 1 1 1 = − 8 4 8  1   1 1   1 1   1 1  Bước 3: Vậy A = 1 −  +  −  +  −  + +  −   2   2 4   4 8   32 64  1 1 1 1 1 1 1 A = 1 − + − + − + + − 2 2 4 4 8 32 64 1 A = 1 - 64 64 1 63 A = − = 64 64 64 63 Đáp số: . 64 Cách 2: 1 1 1 1 1 1 Bước 1: Đặt A = + + + + + 2 4 8 16 32 64 Bước 2: Ta thấy: 1 1 = 1 − 2 2 1 1 3 1 + = = 1 − 2 4 4 4 1 1 1 7 1 + + = = 1 − 2 4 8 8 8 . 1 1 1 1 1 1 Bước 3: Vậy A = + + + + + 2 4 8 16 32 64 1 64 1 63 = 1 - = − = 64 64 64 64 Bài toán 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần (n > 1). 5 5 5 5 5 5 Ví dụ: B = + + + + + 2 6 18 54 162 486 Cách giải: Bước 1: Tính B x n (n = 3)  5 5 5 5 5 5  B x 3 = 3 x  + + + + +   2 6 18 54 162 486  15 5 5 5 5 5 = + + + + + 2 2 6 18 54 162 19
10. Bước 2: Tính B x n - B 15 5 5 5 5 5   5 5 5 5 5 5  B x 3 - B =  + + + + +  -  + + + + +   2 2 6 18 54 162   2 6 18 54 162 486  15 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 B x (3 - 1) = + + + + + - − − − − − 2 2 6 18 54 162 2 6 18 54 162 486 15 5 B x 2 = − 2 486 3645 − 5 B x 2 = 486 3640 B x 2 = 486 3640 B = : 2 486 1820 B = 486 910 B = 243 Bài toán 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau: 1 1 1 1 Ví dụ 1: A = + + + 2 x 3 3 x 4 4 x5 5 x 6 Cách giải: 3− 2 4−3 5− 4 6−5 A = + + + 2 x 3 3 x 4 4 x5 5 x 6 3 2 4 3 5 4 6 5 = − + − + − + − 2 x 3 2 x3 3 x 4 3 x 4 4 x5 4 x5 5 x 6 5 x 6 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − 2 3 3 4 4 5 5 6 1 1 3 1 2 1 = − = − = = 2 6 6 6 6 3 Ví dụ 2: 3 3 3 3 B = + + + 2 x5 5 x8 8 x11 11x14 Cách giải: 5− 2 8−5 11−8 14−11 B = + + + . 2 x5 5 x8 8 x11 11x14 5 2 8 5 11 8 14 11 B = − + − + − + − 2 x5 2 x5 5 x8 5 x8 8 x11 8 x11 11x14 11x14 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − 2 5 5 8 8 11 11 14 20
11. 1 1 7 1 6 3 = − = − = = 2 14 14 14 14 7 * Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính tổng: a) Của tất cả các số lẻ bé hơn 100 b) 1 + 4 + 9 + 16 + + 169 Bài 2: a) Tính nhanh tổng của tất cả các số có 3 chữ số. b) 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Dãy số trên có mười số hạng Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh Đố em, đố chị, đố anh Tìm ra phương pháp tính nhanh mới tài. Bài 3: Tính nhanh: 4 4 4 4 4 4 a) + + + + + 3 x 7 7 x11 11x15 15 x19 19 x 23 23 x 27 1 1 1 1 1 1 1 b) + + + + + + + 2 6 12 20 30 42 110 1 1 1 1 1 1 c) + + + + + 10 40 88 154 138 340 Bài 4: 1 + 1 + 1 + + 1 + 1 + 1 = ? 2 4 8 1024 2048 4096 Phép cộng phân số khó gì? Kê đủ số hạng ra thì uổng công Cách gì ai tỏ ai thông Cộng nhanh đáp đúng lại không tốn giờ Đố bạn hiền đó em thơ Đố ai ai biết đây nhờ giải mau. Bài 5: Hãy tính tổng của các dãy số sau: a) 1, 5, 9, 13, 17, Biết dãy số có 80 số hạng. b) , 17, 27, 44, 71, 115. Biết dãy số có 8 số hạng. Bài 6: Tính nhanh: a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + + 13,27 + 14,77 b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + + 0,19. 1 1 1 1 1 1 Bài 7: Cho dãy số: , , , , , 2 6 12 20 30 42 a) Hãy tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên. 1 b) Số có phải là một số hạng của dãy số trên không? Vì sao? 10200 Dạng 10: Dãy chữ Khác với các dạng toán khác, toán về dạng dãy chữ không đòi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp. Ngược lại để giải những bài toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải 21
12. biết vận dụng sáng tạo những kiến thức toán học đơn giản, những hiểu biết về xã hội, từ đó mà vận dụng dạng toán này vào trong đời sống hàng ngày và các môn học khác. Các ví dụ: Bài toán 1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH thành một dãy chữ liên tiếp: HOCSINHGIOITINHHOCSINHGIOI hỏi chữ cái thứ 2009 của dãy là chữ cái nào? Giải: Ta thấy mỗi nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH gồm 15 chữ cái. Giả sử dãy chữ có 2009 chữ cái thì có: 2009 : 15 = 133 (nhóm) và còn dư 14 chữ cái. Vậy chữ cái thứ 2009 của dãy chữ HOCSINHGIOITINH là chữ N của tiếng TINH đứng ở vị trí thứ 14 của nhóm chữ thứ 134. Bài toán 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG thành dãy THIXAHAIDƯƠNGTHIXAHAIDƯƠNG Hỏi: a. Chữ cái thứ 2002 trong dãy này là chữ gì? b. Nếu người ta đếm được trong dãy số có 50 chữ H thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ N? c. Bạn Hải đếm được trong dãy có 2001 chữ A. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay đếm sai? Giải thích tại sao? d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự: XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM, hỏi chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu gì? Giải: a. Nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG có 13 chữ cái: 2002 : 13 = 154 (nhóm) Như vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 trong dãy, người ta đã viết 154 lần nhóm THIXAHAIDƯƠNG, vậy chữ cái thứ 2002 trong dãy là chữ G của tiếng DƯƠNG. b. Mỗi nhóm chữ THIXA HAIDƯƠNG có 2 chữ H và cũng có 2 chữ A và 1 chữ N. Vì vậy, nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ H thì tức là người đó đã viết 25 lần nhóm đó nên dãy đó phải có 50 chữ A và 25 chữ N. c. Bạn đó đếm sai, vì số chữ A trong dãy phải là số chẵn. d. Ta nhận xét: + 2001 chia cho 4 thì dư 1. + Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là chia cho 4 thì dư 1 thì được tô màu XANH. Vậy chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu XANH. Bài toán 3: Bạn Hải cho các viên bi vào hộp lần lượt theo thứ tự là: bi xanh, bi đỏ, bi vàng rồi lại đến bi xanh, bi đỏ, bi vàng cứ như vậy. Hỏi: a) Viên bi thứ 100 có màu gì? b) Muốn có 10 viên bi đỏ thì phải bỏ vào hộp ít nhất bao nhiêu viên bi? Giải: a) Ta thấy, cứ 3 viên bi thì lập thành 1 nhóm màu: xanh, đỏ, vàng. 100 viên bi thì có số nhóm là: 100 : 3 = 33 nhóm (dư 1 viên bi) 22
13. Như vậy, bạn Hải đã cho vào hộp được 33 nhóm, còn dư 1 viên của nhóm thứ 34 và là viên bi đầu tiên của nhóm này. Vậy viên bi thứ 100 có màu xanh. b) Một nhóm thì có 3 viên bi, muốn có 10 viên bi đỏ thì cần bỏ vào hộp: 3 x 10 = 30 viên bi. Nhưng viên bi màu đỏ là viên bi thứ 2 của nhóm. Vậy cần bỏ vào hộp ít nhất số viên bi là: 30 - 1= 29 viên. * Bài tập tự luyện: Bài 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TOANNAM thành dãy: TOANNAMTOANNAMTOAN Hỏi: a. Chữ cái thứ 2010 trong dãy là chữ gì? b. Nếu người ta đếm được trong dãy có 50 chữ N thì dãy đó có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ O? c. Một người đếm được trong dãy có 2009 chữ A, hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao? d. Người ta tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM hỏi chữ cái thứ 2009 trong dãy được tô màu gì? Bài 2: Người ta viết các chữ cái D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T, thành dãy: DAYTOTHOCTOTDAYTOT bằng 3 màu xanh, đỏ, tím, mỗi tiếng một màu. Hỏi chữ cái thứ 2010 là chữ cái gì? Màu gì? Bài 3: Bạn Dương viết liên tiếp các nhóm chữ DIENBIENPHU thành dãy: DIENBIENPHUDIENBIENPHU Hỏi: a) Chữ cái thứ 1954 là chữ gì? b) Nếu trong dãy đã viết có 2010 chữ E thì có bao nhiêu chữ H? Bài 4: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM Hỏi: a) Chữ cái thứ 1975 trong dãy là chữ gì? b) Người ta đếm được trong dãy đó có 50 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O? Bao nhiêu chữ I? c) Bạn An đếm được trong dãy có 1945 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Vì sao? d) Người ta tô màu vào các chữ cái trong dãy trên theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng, Hỏi chữ cái thứ 2010 được tô màu gì? 4- Một số lưu ý khi giải toán về “dãy số” Trong bài toán về dãy số thường người ta không cho biết cả dãy số (vì dãy số có nhiều số không thể viết ra hết được) vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy (mà có rất nhiều quy luật khác nhau) mới tìm được các số mà dãy số không cho biết. Đó là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm ra quy luật. Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số A có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số dư) thì số đó thuộc dãy đã cho. Ở dạng 3 và 4: Học sinh phải được tự tìm ra công thức tổng quát, vận dụng một cách thành thạo và biết biến đổi công thức để làm các bài toán khác. Ở dạng 9: Có các yêu cầu: + Tìm tổng các số hạng của dãy. 23
14. + Tính nhanh tổng. Khi giải: Sau khi tìm ra quy luật của dãy, ta sắp xếp các số theo từng cặp sao cho có tổng đều bằng nhau, sau đó tìm số cặp rồi tìm tổng các số hạng của dãy. Chú ý: Khi tìm số cặp số mà còn dư một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số dư đó vào. Nếu tính nhanh tổng của các phân số phải dựa vào tính chất của phân số. Ở dạng 10: Đó là dãy chữ khi giải phải dựa vào quy luật của dãy, sau đó có thể xem mỗi nhóm chữ có tất cả bao nhiêu chữ rồi đi tìm có tất cả bao nhiêu nhóm và đó chính là phần trả lời của bài toán. 24