Chuyên đề Toán Lớp 4 - Chuyên đề: Dãy số tự nhiên, dãy số quy luật

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 4 - Chuyên đề: Dãy số tự nhiên, dãy số quy luật

1. I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ - Trong dãy số tự nhiên liên tiếp cứ một số chẵn lại đến một số lẻ rồi lại đến một số chẵn Vì vậy, nếu: - Dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc là số chẵn thì số lượng các số lẻ bằng số lượng các số chẵn. - Dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc là số lẻ thì số lượng các số chẵn bằng số lượng các số lẻ. - Nếu dãy số bắt đầu từ số lẻ và kết thúc cũng là số lẻ thì số lượng các số lẻ nhiều hơn các số chẵn là 1 số. - Nếu dãy số bắt đầu từ số chẵn và kết thúc cũng là số chẵn thì số lượng các số chẵn nhiều hơn các số lẻ là 1 số. - Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1 thì số lượng các số trong dãy số chính bằng giá trị của số cuối cùng của số ấy. - Trong dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số khác số 1 thì số lượng các số trong dãy số bằng hiệu giữa số cuối cùng của dãy số với số liền trước số đầu tiên. - Phân loại dãy số: - Dãy số cách đều: + Dãy số tự nhiên. + Dãy số chẵn, lẻ. + Dãy số chia hết hoặc không chia hết cho một số tự nhiên nào đó. - Dãy số không cách đều: + Dãy Fibonacci hay tribonacci (Dãy vô hạn). + Dãy có tổng (hiệu) giữa hai số liên tiếp là một dãy số. + Dãy số thập phân, phân số. II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ DÃY SỐ DẠNG 1. ĐIỀN THÊM SỐ HẠNG VÀO SAU, GIỮA HOẶC TRƯỚC MỘT DÃY SỐ Những kiến thức cần lưu ý: Để giải được bài toán dạng này, ta cần xác định quy luật của dãy số. Các quy luật của dãy số thường gặp là: 1.1981 =+× 1 2 990 . Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó cộng (hoặc trừ) với một số tự nhiên d.
2. 2. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân (hoặc chia) với một số tự nhiên q khác 0. 3. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó. 4. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó. 5. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tích của hai số hạng đứng liền trước nó. 6. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tích của ba số hạng đứng liền trước nó. 7. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước với nó cộng với số chỉ thứ tự của số hạng đó rồi cộng với một số tự nhiên d. 8. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó. 9. Mỗi số hạng bằng số chỉ thứ tự của số hạng đó nhân với số liền sau của số thứ tự. 10. Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với một số tự nhiên rồi nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó. BÀI TẬP MINH HỌA Bài 1. Điền thêm 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 Hướng dẫn: Muốn giải được bài toán trên trước hết phải xác định quy luật của dãy số như sau: Ta thấy: 1 += 3 4, 3 += 4 7 4 += 7 11, 7 += 11 18 Dãy số trên được lập theo quy luật sau: Kể từ số hạng thứ ba trở đi mỗi số bằng tổng của hai số hạng đứng liền trước nó. Ba số hạng tiếp theo là 29 += 47 76; 47 += 76 123; 76 + 123 = 199 Vậy dãy số được viết đầy đủ là: 1 , 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199. Bài 2. Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: 1, 2, 3, 6, 11, 20 Hướng dẫn: Ta nhận thấy: 6 =++ 1 2 3 11 =++ 2 3 6 20=++ 3 6 11 Từ đó ta rút ra được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 4) bằng tổng của ba số hạng đứng liền trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 1, 2, 3, 6, 11, 20, 37, 68, 125.
3. Bài 3. Tìm số hạng đầu tiên của dãy số sau biết rằng mỗi dãy số có 10 số hạng. a) ., ., 32, 64, 128, 256, 512, 1024 b) ., ., 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 Hướng dẫn: a) Ta nhận xét: Số hạng thứ 10 là: 1024 = 512 × 2 Số hạng thứ 9 là: 512 = 256 × 2 Số hạng thứ 8 là: 256 = 218 × 2 Số hạng thứ 7 là: 128 = 64 × 2 Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số này là: mỗi số hạng của dãy số gấp đôi số hạng đứng liền trước đó. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 ×= 2 2 b) Ta nhận xét: Số hạng thứ 10 là: 100 = 10 × 10 Số hạng thứ 9 là: 90 = 10 × 9 Số hạng thứ 8 là: 80 = 10 × 8 Số hạng thứ 7 là: 70 = 10 × 7 Từ đó ta suy luận ra quy luật của dãy số này là: mỗi số hạng bằng số thự tự của số hạng ấy nhân với 10. Vậy số hạng đầu tiên của dãy là: 1 ×= 10 10 Bài 4. Tìm các số còn thiếu trong dãy số sau: a. 3, 6, 12, , ., 96 b. 3, 5, 9, ., ., 65 Hướng dẫn: Muốn tìm được các số còn thiếu trong mỗi dãy số, cần tìm được quy luật của mỗi dãy số đó. a.Ta nhận xét: 3 ×= 2 6 6 ×= 2 12 Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng gấp 2 lần số liền trước nó. Vậy các số còn thiếu của dãy số đó là: 12 ×= 2 24 ; 24 ×= 2 48 ; 48 ×= 2 96
4. Vậy dãy số còn thiếu hai số là 24 và 48. b.Ta nhận xét: 3 ×= 2 – 1 5 ; 5 ×= 2 – 1 9 Quy luật của dãy số là: Kể từ số hạng thứ 2 trở đi, mỗi số hạng gấp 2 lần số liền trước nó trừ đi 1. Vì vậy, các số còn thiếu ở dãy số là: 9 ×= 2 – 1 17 ; 17 ×= 2 –1 33 ; 33 ×= 2 –1 65 Dãy số còn thiếu hai số là: 17 và 33 Bài 5. Lúc 6h sáng, một người đi từ A đến C và một người đi từ C đến A; cả hai cùng đi đến đích của mình lúc 3h chiều. Vì đường đi khó dần từ A đến C, nên người đi từ A, giờ đầu đi được 20km, cứ mỗi giờ sau đó lại giảm 2km. Người đi từ C giờ cuối cùng đi được 20km, cứ mỗi giờ trước đó lại giảm 2 km. Tính quãng đường AC. Hướng dẫn: 3 giờ chiều là 15h trong ngày 2 người đi đến đích của mình trong số giờ là: 15 – 6 = 9 giờ Vận tốc của người đi từ A đến B lập thành dãy số: 20, 28, 16, 14, 12, 10, 8, 6, 4. Vận tốc của người đi từ B đến A lập thành dãy số: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20. Nhìn vào 2 dãy số ta nhận thấy đều có các số hạng giống nhau vậy quãng đường AC là: 4 ++++++++= 6 8 10 12 14 16 18 20 108 km Đáp số:108 km BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Cho dãy số: 13, 19, 25, 31, ., , Ba số viết tiếp là ba số nào? Số nào suy nghĩ thấp cao? Đố em, đố bạn làm sao kể liền? Bài 2. Tìm và viết ra các số hạng còn thiếu trong dãy số sau: a. 7, 11, 15, ., , 27, 31. b. 103, 99, 95, , , , 79, 75 Bài 3. Viết tiếp ba số hạng và dãy số sau:
5. Quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi bằng tổng của số hạng đứng liền trước nó với số liền sau số thứ tự của nó. Số hạng thứ 5 là: 12 += 6 18 Số hạng thứ 6 là: 18 += 7 25 Số hạng thứ 7 là: 25 += 8 33 Vậy ba số tiếp theo là 18, 25, 33. d. 1, 2, 6, 24, . Nhận xét: Số thứ nhất: 1 Số thứ hai: 2 = 1 × 2 Số thứ ba: 6 = 2 × 3 Số thứ tư: 24 = 6 × 4 Quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi bằng tích của số hạng đứng liền trước nó với số thứ tự của nó. Số hạng thứ 5 là: 24 ×= 5 120 Số hạng thứ 6 là: 120 ×= 6 720 Số hạng thứ 7 là: 720 ×= 7 5040 Vậy ba số tiếp theo là 120; 720; 5040 HƯỚNG DẪN – ĐÁP ÁN DẠNG 2 Bài 1: Cho dãy số 1; 6; 11; 16; . a. Nêu quy luật của dãy Quy luật: Mỗi số đều bằng 1 cộng với tích của 5 và số liền trước số thứ tự của nó. Hoặc: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi đều bằng số hạng liền trước nó cộng với 5. b. Số 31 có phải số hạng của dãy không? Ta thấy: 1 : 5 = 0 dư 1 6 : 5 = 1 dư 1 11 : 5 = 2 dư 1 16 : 5 = 3 dư 1 Nhận xét: Mỗi số thuộc dãy chia 5 đều dư 1. Mà 31 chia 5 cũng dư 1. Vậy 31 là số hạng của dãy. b. Số 2015 có thuộc dãy không? Vì sao? Ta thấy 2015 : 5 = 403 không dư nên 2015 không thuộc dãy. Bài 2: Cho dãy số 1004; 1012; 1020; .; 2020
6. Hỏi số 1008 và 2017 có thuộc dãy trên không? Hướng dẫn Ta thấy 1008 không thuộc dãy trên vì 1008 < 1020 Nhận xét: Dãy số trên gồm các số chẵn, mà 2017 là số lẻ nên không thuộc dãy. Bài 3: Cho dãy số: 1; 9; 17; 25; . a. Nêu quy luật của dãy số rồi viết ba số hạng tiếp theo Ta thấy: 1 += 8 9 ; 9 += 8 17;1 7 += 8 25 Quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai trở đi bằng số hạng đứng liền trước cộng với 8. Ba số hạng tiếp theo là: 25+= 8 33; 33 += 8 41; 41 += 8 49 Trong hai số 1999 và 2017 thì số nào thuộc dãy? Vì sao? Nhận xét: 1 chia 8 dư 1; 9 chia 8 dư 1; 17 chia 8 dư 1; 25 chia 8 dư 1. Vậy những số thuộc dãy trên chia 8 đều dư 1. Ta thấy: 1999 chia 8 dư 7 nên 1999 không thuộc dãy. 2017 chia 8 dư 1 nên 2017 thuộc dãy. Bài 4: Cho dãy số: 3; 8; 13; 18; Có số tự nhiên nào có chữ số tận cùng là 9 mà thuộc dãy số trên không? Nhận xét: 3 chia 5 dư 3; 8 chia 5 dư 3; 13 chia 5 dư 3; 18 chia 5 dư 3. Vậy những số thuộc dãy số trên chia 5 đều dư 3. Mà các số có chữ số tận cùng là 9 chia 5 dư 4 nên những số có tận cùng là 9 không thuộc dãy số trên. Bài 5: Cho dãy số: 1; 3; 6; 10; 15; ; .; 45; 55; . Nhận xét: Số thứ nhất: 1 Số thứ hai: 3 = 1 + 2 Số thứ ba: 6 =++ 1 2 3 Số thứ tư: 10 =+++ 1 2 3 4 Số thứ năm: 15 =++++ 1 2 3 4 5 Số thứ n: ? = 1 + 2 + 3 + . + n Ta có: 1 + 2 + 3 + . + n =
7. Ta có: 0 ×= 1 0; 1 ×= 2 2; 2 ×= 3 6; 3 ×= 4 12; 4 ×= 5 20; 5 ×= 6 30; 6 ×= 7 42; 7 ×= 8 56; 8 ×= 9 72; 9 × 10 = 90; Vậy tích của hai số tự nhiên liên tiếp có tận cùng là 0; 2 hoặc 6. a. Số 1997 có phải số hạng của dãy số này hay không? Suy ra: × ( + 1) 2 = 1997 × ( + 1) = 1997 x 2 = 3994 푛 푛 ∶ Mà ×푛 ( +푛 1) có tận cùng là 0 ; 2 hoặc 6 3994푛 có tận푛 cùng là 4 nên không có số tự nhiên nào thoả mãn × ( + 1) = 3994 Vậy 1997 không thuộc dãy trên. 푛 푛 a. Số 561 có phải số hạng của dãy số này hay không? Suy ra: × ( + 1) 2 = 561 × ( + 1) = 561 x 2 = 1122 푛 푛 ∶ Ta có: 1122푛 =푛 2 ×× 3 11 × 17 = 33 × 34 Vậy n = 33. Vậy 561 thuộc dãy trên. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP DẠNG 4 Bài 1: Cho dãy số: 3;8;13;18;23 ;2018 Tìm xem dãy số có bao nhiêu số hạng? Hướng dẫn Ta thấy 8−= 3 5;13 −= 8 5;18 − 13 = 5; Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng với 5. Nói cách khác đây là dãy số cách đều 5 đơn vị. Ta có: Số các số hạng của dãy là: (2018− 3) :5 += 1 404 (số hạng) Đáp số: 404 số hạng Bài 2: tìm số hạng của dãy số sau: 1;4;7;10; ;2017 . Hướng dẫn: Ta thấy : 4−= 1 3; 7 −= 4 3; 10 −= 7 3 Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng với 5. Nói cách khác đây là dãy số cách đều 3 đơn vị. Ta có: Số các số hạng của dãy là: (2017− 1) :3 += 1 673(số hạng)
8. Đáp số: 673 số hạng. Bài 3: Xét dãy số: 100;101; ;789 . Dãy này có bao nhiêu số hạng? Hướng dẫn: Nhận xét: Đây là dãy số cách đều với khoảng cách là 1. Dãy số này có số số hạng là: (789− 100) :1 += 1 690 (số) Đáp số: 690 số hạng. Bài 4: Có bao nhiêu số khi chia cho 4 thì dư 1 mà nhỏ hơn 2017? Hướng dẫn: Các số mà chia cho 4 mà dư 1 mà nhỏ hơn 2017 là: 1;5;9; ;2013 Số các số mà chia cho 4 mà dư 1 mà nhỏ hơn 2017 là: (2013− 1) : 4 += 1 504 (số) Bài 5: Người ta trồng cây hai bên đường của một đoạn đường quốc lộ dài 21km . Hỏi phải dung bao nhiêu cây để đủ trồng trên đoạn đường đó? Biết rằng cây nọ trồng cách cây kia 5m và hai đầu đường đều có cây. Hướng dẫn: Đổi: 21km = 21000m Một bên đường trồng số cây là: 21000 : 5 + 1 = 4201(cây) Số cây phải trồng là: 4201 ×= 2 8402(cây)
9. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP DẠNG 5 Bài 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TOANNAM thành dãy: TOANNAMTOANNAMTOANNAM Hỏi? a. Chữ cái thứ 2017 trong dãy là chữ gì? Hướng dẫn: Mỗi nhóm chữ gồm 7 chữ. Ta thấy: 2017 : 7= 288 (dư 1) Vậy chữ cái thứ 2017 là chữ T của nhóm thứ 289 b. Nếu người ta đếm ngược trong dãy có 50 chữ N thì dãy có bao nhiêu chữ A? Bao nhiêu chữ O? Hướng dẫn: Nhận xét: Mỗi nhóm có 2 chữ N, 1 chữ O và 2 chữ A. Vậy người ta đếm được 50 chữ N thì sẽ có 50 : 2= 25 chữ O và 50 chữ N c. Một người đếm được trong dãy có 2017 chữ A, hỏi người đó đếm đúng hay sai? Giải thích tại sao? Hướng dẫn: Mỗi nhóm có 2 chữ S, nên số chữ A phải là số chẵn, 2017 là số lẻ nên người đó đếm sai. d. Người đó tô màu các chữ cái trong dãy theo thứ tự XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM Hỏi chữ cái thứ 2017 trong dãy tô được màu gì? Hướng dẫn: Cứ 4 chữ cái tạo thành một nhóm màu “XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG” Mà: 2017 : 4 = 504(dư 1) Vậy chữ cái thứ 2017 là màu xanh. Bài 2: Người ta viết chữ các chữ cái D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T thành dãy: DAYTOTHOCTOTDAYTOT bằng 3 màu xanh, đỏ, tím, mỗi tiếng một màu. Hỏi chữ cái thứ 2017 là chữ cái gì? Màu gì? Hướng dẫn: Mỗi nhóm DAYTOTHOCTOTDAYTOT gồm 12 chữ cái. Ta có: 2017:12=168 (dư 1) nên chữ cái thứ 2017 là chữ D. Ta nhóm 3 tiếng liên tiếp thành một nhóm màu “Xanh, đỏ, tím” Mà 2017:3=672 (dư 1) nên nhóm thứ 673 là màu xanh Vậy chữ cái thứ 2017 là chữ D màu xanh.
10. Bài 3: Bạn Dương viết liên tiếp các nhóm chữ DIENBIENPHU thành dãy DIENBIENPHUDIENBIENPHU Hỏi? a. Chữ cái thứ 1954 là chữ gì? Hướng dẫn Mỗi nhóm chữ gồ 11 chữ cái. Ta có: 1954 : 11 = 177 (dư 7) Vậy chữ cái thứ 1954 là chữ E trong chữ BIEN của nhóm thứ l78 b. Nếu trong dãy đã viết có 2016 chữ E thì có bao nhiêu chữ H? Hướng dẫn Ta thấy mỗi nhóm đêu có 2 chữ E và 1 chữ H Vậy nếu trong dãy đã cho có 2016 chữ E thì có: 2016 : 2 = 1008 chữ H Bài 4: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy TOQOQUOCVIETNAMTOOUOCVIETNAM Hỏi? a. Chữ cái thứ 2017 trong dãy là chữ gì? Hướng dẫn Mỗi nhóm chữ có: 13 chữ cái. Ta có: 2017 : 13 = 155(dư 2) Vậy chữ cái thứ 2017 trong dãy là chữ O của nhóm thứ 156 b. Người ta đếm được trong dãy đó có 550 chữ T thì dãy đó có bao nhiêu chữ O? Bao nhiêu chữ I? Hướng dẫn Mỗi nhóm chữ có 2 chữ T, 2 chữ O và 1 chữ I Vậy nếu người ta đếm được dãy đó có 550 chữ T thì dãy đó có 550 chữ O và: 550 : 2= 275 chữ I a. Bạn An đếm được trong dãy có 2017 chữ O. Hỏi bạn ấy đếm đúng hay sai? Vì sao? Hướng dẫn Số chữ O trong dãy là số chẵn mà 2017 là số lẻ nên bạn An đếm sai. b. Người ta tô màu vào các chữ cái trong dãy trên theo thứ tự: xanh, đỏ, tím, vàng, xanh, đỏ, tím, vàng, Hỏi chữ cái thứ 2017 được tô màu gì? Hướng dẫn Ta ghép 4 chữ cái thành một nhóm màu “Xanh, đỏ, tím. vàng”. Ta có: 2017 : 4= 504 (dư l) Vậy chữ cái thứ 2017 được tô màu xanh
11. HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỔNG HỢP 1. Từ 7 đến 259 có bao nhiêu số lẻ? Hướng dẫn Số số lẻ từ 7 đến 259 là: (259 − 7) : 2 += 1 127 (số) 2. Từ 2 đến 256 có bao nhiêu số chẵn? Hướng dẫn Từ 2 đến 256 có số số chẵn là: (256 − 2) : 2 += 1 128(số) 3. Cho dãy số:1; 2; 3; 4; ;1999; 2000 . Dãy này có bao nhiêu chữ số. Hướng dẫn Từ 1 đến 9 có số chữ số là: 9 x 1= 9 (chữ số) Từ 10 đến 99 có số chữ số là: 90 x 2 = 180 (chữ số) Từ 100 đến 999 có số chữ số là: 900 x 3 = 2700 (chữ số) Từ 1000 đến 2000 có số chữ số là: 1001 x 4 = 4004(chữ số) Dãy đã cho có số chữ số là: 9 ++ 180 2700 + 4004 = 6893(chữ số) 4. Người ta đã dùng 167 chữ số để đánh số trang một cuốn sách bắt đầu từ trang 1. Hỏi cuốn sách dày bao nhiêu trang? Hướng dẫn Từ trang 1 đến trang 9 cần số chữ số là : 9 x 1 = 9 (chữ số) Số chữ số còn dư là: 167 −= 9 158 (chữ số) < 180 nên số trang cuối cùng của cuốn sách là số có 2 chữ số. Số trang có 2 chữ số là: 158 : 2 = 79 (trang) Cuốn sách dày số trang là: 9 += 79 88 (trang) Đáp số: 88 trang 5. Có bao nhiêu số lẻ có hai chữ số lớn hơn 35? Hướng dẫn Các số lẻ lớn hơn 35 có 2 chữ số là: 37; 39 ; 99 Và có: (99 - 37) : 2+= 1 32 (số) 6. Trong kì thi học sinh giỏi cấp trường, có 37 thí sinh dự thi. Hỏi người ta phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số báo danh của các thí sinh? Hướng dẫn: Từ số báo danh 1 đến 9 cần số chữ số là : 9 x 1 = 9 (chữ số) Từ số báo danh 10 đến 37 cân số chữ số là: 28 x 2 = 56 (chữ số) Số chữ số cân dùng đề đánh số báo danh là: 9 += 56 65 (chữ số) Đáp số: 65 chữ số 7. Cần đánh số trang một quyền sách có 168 trang thì cân dùng tất cả bao nhiêu chữ số?
12. Hướng dẫn: Từ trang 1 đến trang 9 cần số chữ số là: 9 x 1 = 9 (chữ số) Từ trang 10 đến trang 99 cần số chữ số là: 90 x 2 = 180 (chữ số) Từ trang 100 đến trang 168 cần số chữ số là: 69 x 3 = 207 (chữ số) Số chữ số cần dùng là: 9 ++ 180 207 = 396 (chữ số) Đáp số: 396 chữ số 8. Trong kì thi học sinh giỏi cấp trường, có 137 thí sinh dự thi. Hỏi người ta cần dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số thứ tự các thí sinh? Hướng dẫn: Từ số báo danh 1 đến 9 cần số chữ số là : 9 x 1 = 9 (chữ số) Từ số báo danh 10 đến 99 cần số chữ số là: 90 x 2 = 180 (chữ số) Từ số báo danh 100 đến 137 cần số chữ số là: 38 x 3 = 114 (chữ số) Số chữ số cần dùng để đánh số báo danh là: 9 ++= 180 114 303(chữ số) Đáp số: 303 chữ số 9. Từ 1 đến 2000 có bao nhiêu số lẻ? Hướng dẫn Các số lẻ từ 1 đến 2000 là: 1;3;5;7; ;1999 Số các số lẻ là: (1999− 1) : 2 += 1 1000 (số) Đáp số: 1000 số 10. Cho dãy số: 2;4;6;8; ;1996;1998;2000 . Dãy đã cho có số. Hướng dẫn Dãy đã cho có số số là: (2000− 2) : 2 += 1 1000(số) Đáp số: 1000 số 11. Từ 1 đến 2000 có bao nhiêu số chẵn? Hướng dẫn ác số chẵn từ 1 đến 2000 là: 2;4;6; ;2000 Số các số chẵn là: (2000− 2) : 2 += 1 1000 (số) Đáp số: 1000 số 12. Trong cuộc thi học sinh giỏi cấp trường, có 142 thí sinh dự thi. Hỏi người ta phải dùng tất cả
13. bao nhiêu chữ số đề đánh số báo danh các thí sinh? Hướng dẫn: Từ số báo danh 1 đến 9 cần số chữ số là : 9 x 1 = 9 (chữ số) Từ số báo danh 10 đến 99 cần số chữ số là: 90 x 2= 180 (chữ số) Từ số báo danh 100 đến 142 cần số chữ số là: 43 x 3 = 129(chữ số) Số chữ số cần dùng đề đánh số báo danh là: 9++= 180 129 318 (chữ số) Đáp số: 318 chữ số 13. Có bao nhiêu số lẻ có hai chữ số? Hướng dẫn Các số lẻ có 2 chữ số là: 11;13;15; ;99 Số các số lẻ có 2 chữ số là: (99− 11) : 2 += 1 45 (số) 14. Giữa 2 số chẵn có 8 số chẵn khác thì hiệu của 2 số đó là: 8x2 +=2 18 15. Giữa 2 số tự nhiên có 19 số tự nhiên khác thì hiệu của hai số đó là: 19x1+= 1 20 16. Số số có 3 chữ số chia hết cho 3 là Hướng dẫn Các số có 3 chữ số chia hết cho 3 là: 102;105; ;999 Số các số có 3 chữ số chia hết cho 3 là: (999− 102) :3 += 1 300 (số 17. Cho dãy số: 1;4;7;10;13;16 Viết tiếp 3 số tiếp theo của dãy. Hướng dẫn Quy luật của dãy: Mỗi số kể từ số thứ 2 trở đi bằng số đằng trước nó cộng với 3, 3 số tiếp theo của dãy là: 19;22;25 18. Tổng của 5 số lẻ liên tiếp là 975. Tìm số bé nhất. Hướng dẫn Trung bình cộng của 5 số là: 975:5= 195 Trung bình cộng của một dãy cách đều nhau lẻ các số chính là số ở giữa. Vậy số thứ 3 là 195 Số bé nhất là: 195−−= 2 2 191 19.Tổng của 5 số chẵn liên tiếp bằng 430. Tìm số lớn nhất trong 5 số đó. Hướng dẫn
14. Trung bình cộng của 5 số đó là: 430 :5 = 86 Trung bình cộng của một dãy cách đều nhau lẻ các số chính là số ở giữa. Vậy số thứ 3 là 86 Số lớn nhất là: 86+= 2 x 2 90 20. Tổng 20 số chẵn liên tiếp bắt đầu từ số 50 bằng Hướng dẫn Gọi số chẵn cuối dãy là: X Vậy ta có: ( X −50) : 2 += 1 20 ( X −=−50) : 2 20 1 ( X −=50) : 2 19 X −=50 19x2 X −=50 38 X =38 + 50 X = 88 Tổng của 20 số đó là: (88+== 50) x20 : 2 138x10 1380 21.Tìm số chẵn có 3 chữ số thứ 25. Số chẵn đầu dãy là 100 Hướng dẫn Số chẵn cuối dãy là : X Vậy ta có ( X −100) : 2 += 1 25 ( X −=−100) : 2 25 1 ( X −=100) : 2 24 X −=100 24x2 X −= 100 48 X = 48 + 100 X =148 22. Dãy số 1;2;3;4;5; ;120;121có bao nhiêu số chẵn? Hướng dẫn Các số chẵn trong dãy trên là: 2;4;6; ;120 Số số chẵn trong dãy trên là: (120− 2) : 2 += 1 60 số
15. 23. Có bao nhiêu số lẻ có 4 chữ số đều chia hết cho 92 Hướng dẫn Cách 1: Số có 4 chữ số từ 1000 đến 9999, trong đó các số chia hết cho 9 gồm: 1008;1017;1026; ;9999 Số các số có 4 chữ số chia hết cho 9 là: (9999− 1008) :9 += 1 1000 số Trong các số chia hết cho 9 thì xen kẽ 1 số chẵn và 1 số lẻ. Vậy số các số lẻ có 4 chữ số hia hết cho 9 là: 1000 : 2 = 500 số Cách 2: Các số lẻ có 4 chữ số chia hết cho 9 là: 1017;1035;1053; ;9999 Số các số lẻ có 4 chữ số chia hết cho 9 là: (9999− 1017) :18 += 1 500số 24. Có bao nhiêu số chẵn có 5 chữ số chia hết cho 52 Hướng dẫn Các số chẵn có 5 chữ số chia hết cho 5 là: 10000;10010;10020; ;99990 Số các số chẵn có 5 chữ số chia hết cho 5 là: (99990-10000) :10+= 1 9000 số 25. Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 5? Hướng dẫn Các số chẵn có 4 chữ số chia hết cho 5 là: 1000;1010;1020; ;9990 Số các số chẵn có 5 chữ số chia hết cho 5 là: (9990− 1000) :10 += 1 900 số 26.Cho dãy số tự nhiên liên tiếp:1;2;3;4;5; ;100;101. Dãy trên có bao nhiêu số chẵn? Hướng dẫn Các số chẵn trong dãy trên là: 2;4;6; ;100 Số các số chẵn trong dãy trên là: (100− 2) : 2 += 1 50 số 27. Tính tổng 50 số chẵn liên tiếp bắt đầu từ số 68. Hướng dẫn Gọi số chẵn cuối dãy là: X Vậy ta có: ( X −68) : 2 += 1 50
16. ( X −=−68) : 2 50 1 ( X −=68) : 2 49 X −=68 49x2 X −=68 98 X =98 + 68 X =166 Tổng của 50 số đó là: (166+== 68) x50 : 2 234x25 5850 28. Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu phân số mà tổng của tử số và mẫu số của mỗi phân số đó bằng 2013? Hướng dẫn a Các phân số cần tìm có dạng ,0b ≠ , sao cho ab+=2013 b Các cặp số (ab, )thỏa mãn điều kiện là: (0;2013) ;( 1;2012) ; ;( 2012;1) Cặp (2013;0) không thỏa mãn vì b #0 Tử số của phân số lần lượt là: 0;1;2; ;2012 Số phân số thỏa mãn là: (2012− 0) :1 += 1 2013số 29. Hãy cho biết có tất cả bao nhiêu số có 3 chữ số không chia hết cho 5? Hướng dẫn Số các số có 3 chữ số là: (999− 100) :1 += 1 900 số Số các số có 3 chữ số chia hết cho 5 là: 900 :5= 180 số Số các số có 3 chữ số không chia hết cho 5 là: 900−= 180 720 số 30. Giữa hai số lẻ có 9 số lẻ khác. Vậy hiệu hai số là: 9x2+= 2 20 31. Cho dãy số:1;4;7;10; ;592;595;598. Hỏi dãy đó có tất cả bao nhiêu sốhạng? Hướng dẫn Dãy đó có tất cả số số hạng là: (598-1) :3+= 1 200 số hạng. 32. Hãy cho biết từ 1 đến 2015 có tật cả bao nhiêu số chia hết cho 27 Hướng dẫn Các số chia hết cho 2 từ 1 đến 2015 là: 2;4;6; ;2014 Từ 1 đến 2015 có tất cả số số chia hết cho 2 là: (2014− 2) : 2 += 1 1007 số. 33. Cho dãy số: 575;579; Biết rằng dãy số được viết theo quy luật, tổng của 3 số hạng liên tiếp bất kỳ trong dãy bằng 2015. Tìm số thứ 2015 của dãy số đó. Hướng dẫn
17. Số hạng thứ ba là: 2015−+=( 575 579) 861 Dãy số đó có dạng: (575;579;861) ;( 575;579;861) ;(575;579;861) , . Các nhóm 3 số hạng được lặp lại liên tục. Số nhóm 3 là: 2015:3= 671 (nhóm) dư 2 số hạng là 575 và 579. Số hạng cuỗi cùng là: 579 678 9 34. Cho dãy số: ; ; ; ; Tìm phân số thứ 50 của dãy số trên. 7 8 9 10 Hướng dẫn Tử số của các phân số trên lân lượt là: 6, 7, 8, 9 Gọi X là tử số của phân số thứ 50, thì mẫu số của phân số đó là: X +1 Ta có: ( X −6) :1 += 1 60 ( X −=−6) :1 60 1 ( X −=6) :1 59 ( X −=6) 59x1 X −=6 59 X =59 + 6 X = 5 65 Vậy phân số thứ 50 của dãy là: 66 35. Cho dãy số: 2;4;6;8; ;118;120. Hỏi dãy đó có tất cả bao nhiêu chữ số? Hướng dẫn Dãy số có tất cả số chữ số là: (120− 2) : 2 += 1 60số 36. Cho dãy số: 53;56;59;62;65; Tìm số hạng thứ 1010 của dãy số. Hướng dẫn Gọi X là số hạng thứ 1010 của dãy ta có: ( X −53) :3 += 1 1010 ( X −=−53) :3 1010 1 ( X −=53) :3 1009 ( X −=53) 1009x3 ( X − 53) = 3027 X =3027 + 53
18. X = 3080 37. Cho S =(1 ++++++ 2 3 4 5 97 + 98 + 99) :5 Hướng dẫn Số số hạng của dãy là: (99− 1) :1 += 1 99 số Tổng số số hạng của dãy là: (99+= 1) x 99 : 2 4590 S =4590 :5 = 990 38. Cho dãy số 1;2;3;4;5;6; ;2012;2013 . Hỏi trong dãy số đó có tất cả bao nhiêu chữ số 2? Hướng dẫn Chữ số 2 ở hàng đơn vị có: (2012− 2) :10 += 1 202 (số) Chữ số 2 ở hàng chục: Cứ 100 số lại có 10 số có chữ số 2 (ở các số dạng: 20; 21: ; 29) => Từ 1 đến 2000 có: (2000 :100) x10= 200 (số) Chữ số 2 ở hàng trăm: Cứ 1000 số lại có 100 số có chữ số 2 (ở các số dạng: 200; 201; ; 299) => Từ l đến 2000 có: (2000 :1000) x100= 200 (số) Chữ số 2 ở hàng nghìn: Từ 2000 đến 2013 có: (2013− 2000) += 1 14 số Vậy từ 1 đến 2013 có: 202+++= 200 200 14 616 chữ số 2 39. Tính tổng tất cả các số có 4 chữ số chia hết cho cả 2 và 5 nhỏ hơn 2013. Hướng dẫn Các số có 4 chữ số chia hết cho cả 2 và 5 nhỏ hơn 2013 là: 1000;1010;1020; ;2010 và có: (2010− 1000) :10 += 1 102 số Tổng các số đó là: (2010+1000) x 102:2=153510 Đáp số: 153510 40. Tính tổng của 20 số chẵn liên tiếp mà số lớn nhất là 246. Hướng dẫn Gọi số chăn đầu tiên là x. Ta có: (246−x ) : 2 += 1 20 246−=x (20 −× 1) 2 246−=x 38 x =246 − 38 x = 208